Обобщенный закон гука формула

Обобщённый закон Гука — это расширение классического закона Гука, который описывает связь между напряжениями и деформациями в упругом теле при сложном напряжённом состоянии. В отличие от простой формы закона Гука, применимой для одномерного растяжения или сжатия, обобщённый закон Гука учитывает все шесть компонентов напряжения и шесть компонентов деформации.

Кратко, классический закон Гука:

Обобщенный закон Гука:

Для трехмерного тела, находящегося в состоянии сложного напряжения, обобщенный закон Гука выражается системой линейных уравнений, связывающих компоненты тензора напряжений с компонентами тензора деформаций:

В тензорной форме:

σᵢⱼ = Cᵢⱼₖₗ εₖₗ

Где:

В развернутой форме (для ортотропного материала, часто используемого в инженерии, особенно в композитах):

Это более сложная запись, но она показывает взаимосвязь между каждой компонентой напряжения и каждой компонентой деформации. В самом общем случае (анизотропный материал) тензор упругости имеет 81 компонент, но благодаря симметрии тензоров напряжений и деформаций число независимых компонент сокращается до 36. Для изотропных материалов, свойства которых не зависят от направления, число независимых компонент еще меньше - всего 2. Для ортотропных материалов, свойства которых различны в трех взаимно перпендикулярных направлениях, количество независимых компонент составляет 9.

Для изотропного материала (самый простой случай), обобщенный закон Гука можно выразить через два упругих модуля: модуль Юнга (E) и коэффициент Пуассона (ν):

εₓ = (1/E) * [σₓ - ν(σᵧ + σᵣ)] εᵧ = (1/E) * [σᵧ - ν(σₓ + σᵣ)] εᵣ = (1/E) * [σᵣ - ν(σₓ + σᵧ)] γₓᵧ = τₓᵧ / G γₓᵣ = τₓᵣ / G γᵧᵣ = τᵧᵣ / G

Где:

Ключевые понятия:

Практическое применение:

Обобщенный закон Гука используется в:

Важно помнить:

Обобщенный закон Гука является фундаментальным законом механики деформируемого твердого тела и широко используется в инженерии для решения различных задач, связанных с расчетом на прочность и проектированием конструкций.